Nació el 3 de diciembre de 1912 en Valparaíso. Hijo de Pedro Bossay y de María C. Leiva. Casado con María Elena Hoedi Fontbona con quien tuvo tres hijos: Luis Rodolfo, Marta y Pedro Félix.

Realizó sus estudios primarios y secundarios en el Liceo de Hombres Eduardo de la Barra de Valparaíso. Posteriormente, cursó hasta cuarto año de Leyes en el Curso Fiscal en Valparaíso y luego en la Escuela de Derecho de Universidad de Chile, Sede Valparaíso, donde se licenció en Ciencias Jurídicas y Sociales. Posteriormente, se tituló de abogado.

En el ámbito laboral, se dedicó a actividades empresariales. En 1935 impulsó la gestión de la firma Bossay Hnos. en Valparaíso,la que más tarde se transformó en la "Sociedad Comercial Bossay Importadores y Cía." dedicada a la comercialización de artículos eléctricos con sede en este puerto y en la capital. También se desempeñó como director de los establecimientos Metalúrgicos Renca Ltda.

En 1932 organizó la Federación de Estudiantes de Valparaíso, de la cual fue su presidente.

Inició sus actividades políticas durante su etapa universitaria al ingresar al Partido Radical en el que permaneció hasta su renuncia, el 3 de agosto de 1971. En 1932 organizó la Federación de Estudiantes porteños y fue su presidente. En 1939 fue electo presidente de la Asamblea Radical de Valparaíso y de la Primera Convención de la Juventud Radical realizada en Santiago. Más adelante, asumió como presidente de la agrupación provincial, llegando a asumir la presidencia nacional entre 1954 y 1955.

El 3 de noviembre de 1946 fue designado Ministro del Trabajo ejerciendo hasta el 14 de enero de 1947, fecha en que fue nombrado Ministro de Economía y Comercio hasta el 2 de agosto de ese año. Al mismo tiempo, desde el 24 de junio de 1947 fue nombrado Ministro de Relaciones Exteriores subrogante hasta el 14 de julio de ese año.

Dentro de su colectividad asumió la presidencia en 1952, y fue dirigente de la campaña presidencial de Pedro Aguirre Cerda y de Gabriel González Videla.

En 1958 se presentó como candidato a la presidencia de la República apoyado por su partido y por el Partido Democrático, pero fue derrotado por Jorge Alessandri Rodríguez. En esas elecciones obtuvo el cuarto lugar, logrando 192.077 votos, equivalentes al 15,55 % de los sufragios.

En agosto de 1971 renunció a su partido y se integró al Movimiento Radical Independiente de Izquierda, posteriormente Partido de Izquierda Radical.

Fue uno de los firmantes, el 14 de marzo de 1983, del "Manifiesto Democrático", documento que agrupaba a las corrientes de oposición de centro-izquierda al régimen de Augusto Pinochet Ugarte. También formó parte de la Alianza Democrática.

La Ley N° 19.051, publicada el 1 de abril de 1991, autorizó la erección de un monumento en la ciudad de Valparaíso.

Murió en Santiago, el 7 de agosto de 1986.

Entre las numerosas actividades educacionales que patrocinó le correspondió organizar el Club Cultural de Valparaíso, del cual fue presidente.

Fue masón y perteneció a la Gran Logia de Chile.

Su perfil legislativo se centró en asuntos relativos el ámbito laboral, económico, reformas sociales y políticas locales, centradas en las provincias de Valparaíso y Aconcagua. Cuenta con una gran trayectoria parlamentaria, desde el año 1941. Entre 1965 y 1973, registró 274 intervenciones, 10 mociones y 72 indicaciones en Sala.

Participó ampliamente en la discusión de las principales reformas sociales y económicas de las décadas de 1960 y 1970. El 20 de octubre de 1966, en la Sesión Especial Nº12 del Senado, participó en el debate sobre la Reforma Agraria, señalando que su fin era:“aumentar la producción, formar una cantidad de nuevos propietarios, hacer una mejor distribución de la riqueza y levantar y promover ciertas capas de nuestra población a fin de darles un nivel de vida superior”.

Realizó también 4 homenajes entre 1965 y 1969, destacando el que realizó a los médicos de Valparaíso que realizaron el primer trasplante al corazón en el país, en la Sesión Ordinaria N° 22 del Senado, el 9 de julio de 1968.

Entre las mociones presentadas que se convirtieron en Ley de la República están: Ley N° 13.682, del 26 de noviembre de 1959, correspondiente a la modificación de recursos en la construcción del edificio de la Universidad de Chile, en Valparaíso; Ley N° 10.386, del 20 de agosto de 1953, sobre prórroga de recursos en la construcción de túneles en la cuesta de Chacabuco Zapata y Lo Prado, entre otros.